Hakikat Matematika

A.  Pengertian Matematika

Kata matematika berasal dari perkataan latin mathematica, yang mulanya diambil dari perkataan Yunani mathematike yang berarti ”relating to learning”. Perkataan itu mempunyai asal katanya mathema yang berarti pengetahuan atau ilmu (knowledge, science). Kata mathematike berhubungan pula dengan kata lainnya yang hampir sama, yaitu mathenein yang artinya belajar (berpikir) (Erman Suherman, 2003:15).

Berdasarkan etimologis (Elea Tinggih dalam Erman Suherman) perkataan matematika berarti ilmu pengetahuan yang didapat dengan berpikir (bernalar). Matematika lebih menekankan kegiatan dalam dunia rasio (penalaran), sedangkan dalam ilmu lain lebih menekankan hasil eksperimen atau hasil observasi. Matematika terbentuk sebagai hasil pemikiran manusia yang berhubungan dengan ide, proses, dan penalaran (Russeffendi ET dalam Erman Suherman). Matematika terbentuk dari pengalaman manusia dalam dunianya secara empiris. Kemudian pengalaman itu diproses di dalam dunia rasio, diolah secara analisis dan sintesis dengan penalaran di dalam struktur kognitif sehingga sampai terbentuk konsep-konsep matematika. Agar konsep-konsep matematika yang terbentuk itu mudah dipahami oleh orang lain dan dapat dimanipulasi secara tepat, maka digunakan notasi matematika dan istilah yang cermat yang disepakati bersama secara global (universal) yang dikenal dengan bahasa matematika (Erman Suherman, 2003:16).

Beberapa definisi para ahli mengenai matematika antara lain (Erman Suherman, 2003:16-17):

1.  Russefendi (1988:23)

     Matematika terorganisasikan dari unsur-unsur yang tidak didefinisikan, definisi-definisi, aksioma-aksioma, dan dalil-dalil dimana dalil-dalil setelah dibuktikan kebenarannya berlaku secara umum, karena itulah matematika sering disebut ilmu deduktif.

2.  James dan James (1976)

     Matematika adalah ilmu tentang logika, mengenai bentuk, susunan, besaran, dan konsep-konsep yang berhubungan satu dengan lainnya. Matematika terbagi dalam tiga bagian besar yaitu aljabar, analisis dan geometri. Tetapi ada pendapat yang mengatakan bahwa matematika terbagi menjadi empat bagian yaitu aritmatika, aljabar, geometri dan analisis dengan aritmatika mencakup teori bilangan dan statistika.

3.  Johnson dan Rising dalam Russefendi (1972)

     Matematika adalah pola berpikir, pola mengorganisasikan, pembuktian yang logis, matematika itu adalah bahasa yang menggunakan istilah yang didefinisikan dengan cermat, jelas dan akurat representasinya dengan simbol dan padat, lebih berupa bahasa simbol mengenai ide dari pada mengenai bunyi.

4.  Reys, dkk. (1984)

     Matematika adalah telaah tentang pola dan hubungan, suatu jalan atau pola berpikir, suatu seni, suatu bahasa dan suatu alat.

5.  Kline (1973)

     Matematika itu bukan pengetahuan menyendiri yang dapat sempurna karena dirinya sendiri, tetapi adanya matematika itu terutama untuk membantu manusia dalam memahami dan menguasai permasalahan sosial, ekonomi, dan alam.

Menurut Kamus Besar Bahasa Indonesia (KBBI) dalam Abdul Halim Fathani, matematika didefinisikan sebagai sebagai tentang bilangan, hubungan antara bilangan antara prosedur operasional yang digunakan dalam penyelesaian masalah mengenai bilangan. Konsep matematika didapat karena proses berpikir, karena itu logika adalah dasar terbentuknya matematika. Pada awalnya cabang matematika yang ditemukan adalah Aritmatika atau Berhitung, Aljabar, Geometri. Setelah itu ditemukan Kalkulus sebagai tonggak terbentuknya cabang matematika baru yang lebih kompleks antara lain Statistika, Topologi, Aljabar Abstrak, Aljabar Linear, Himpunan, Geometri Linier, Analisis Vektor, dll.

Berdasarkan definisi di atas banyak definisi dari matematika. Semua definisi dapat kita terima, karena memang matematika dapat ditinjau dari berbagai sudut pandang dan karena matematika itu sendiri memang bisa mencakup seluruh aspek manusia, dari yang paling sederhana sampai yang paling kompleks.

B.  Matematika Sebagai Ilmu Deduktif

Matematika dikenal sebagai ilmu deduktif, karena proses mencari kebenaran (generalisasi) dalam matematika berbeda dengan ilmu pengetahuan alam dan ilmu pengetahuan yang lain. Metode pencarian kebenaran yang dipakai adalah metode deduktif, tidak dapat dengan cara induktif. Pada ilmu pengetahuan alam adalah metode induktif dan eksperimen. Walaupun dalam matematika mencari kebenaran itu dapat dimulai dengan cara induktif, tetapi seterusnya generalisasi yang benar untuk semua keadaan harus dapat dibuktikan dengan cara deduktif. Dalam matematika suatu generalisasi dari sifat, teori atau dalil itu dapat diterima kebenarannya sesudah dibuktikan secara deduktif (Erman Suherman, 2003:18).

Contoh dalam ilmu fisika, bila seorang melakukan percobaan (eksperimen) sebatang logam dipanaskan maka memuai dan dilanjutkan dengan logam-logam yang lainnya, dipanaskan ternyata memuai juga, maka ia dapat membuat kesimpulan (generalisasi) bahwa setiap logam yang dipanaskan itu dapat memuai. Generalisasi yang dibuat secara induktif tersebut dalam ilmu fisika dapat dibenarkan. Namun dalam matematika contoh itu baru dianggap sebagai generalisasi jika kebenarannya dapat dibuktikan secara deduktif.

C. Matematika Sebagai Ilmu Terstruktur

Matematika merupakan ilmu terstruktur yang terorganisasikan. Hal ini karena matematika dimulai dari unsur yang tidak didefinisikan, kemudian unsur yang didefinisikan ke aksioma/postulat dan akhirnya pada teorema. Konsep-konsep matematika tersusun secara hierarkis, terstruktur, logis, dan sistimatis mulai dari konsep yang paling sederhana sampai pada konsep yang paling kompleks. Oleh karena itu untuk mempelajari matematika, konsep sebelumnya yang menjadi prasyarat, harus benar-benar dikuasai agar dapat memahami topik atau konsep selanjutnya. Dalam pembelajaran matematika guru seharusnya menyiapkan kondisi siswanya agar mampu menguasai konsep-konsep yang akan dipelajari mulai dari yang sederhana sampai yang lebih kompleks.

Contoh seorang siswa yang akan mempelajari sebuah volume kerucut haruslah mempelajari mulai dari lingkaran, luas lingkaran, bangun ruang dan akhirnya volume kerucut. Untuk dapat mempelajari topik volume balok, maka siswa harus mempelajari rusuk/garis, titik sudut, sudut, bidang datar persegi dan persegi panjang, luas persegi dan persegi panjang, dan akhirnya volume balok. Struktur matematika adalah sebagai berikut :

a.  Unsur-unsur yang tidak didefinisikan

     Misal: titik, garis, lengkungan, bidang, bilangan, dll. Unsur-unsur ini ada, tetapi kita tidak dapat mendefinisikannya.

b.  Unsur-unsur yang didefinisikan

     Dari unsur-unsur yang tidak didefinisikan maka terbentuk unsur-unsur yang didefinisikan. Misal: sudut, persegi panjang, segitiga, balok, bilangan ganjil, pecahan desimal, FPB dan KPK, dll.

c.  Aksioma dan postulat

     Dari unsur-unsur yang tidak didefinisikan dan unsur-unsur yang didefinisikan dapat dibuat asumsi-asumsi yang dikenal dengan aksioma atau postulat. Misal:

·       Melalui 2 titik sembarang hanya dapat dibuat sebuah garis.

·       Semua sudut siku-siku satu dengan lainnya sama besar.

·       Melalui sebuah titik hanya dapat dibuat sebuah garis yang tegak lurus ke sebuah garis yang lain.

·       Sebuah segitiga tumpul hanya mempunyai sebuah sudut yang lebih besar dari.

d.  Dalil atau Teorema

     Dari unsur-unsur yangtidak didefinisikan dan aksioma maka disusun teorema-teorema atau dalil-dalil yang kebenarannya harus dibuktikan dengan cara deduktif. Misal:

·       Jumlah dua bilangan ganjil adalah genap

·       Jumlah ketiga sudut pada sebuah segitiga sama dengan

·       Jumlah kuadrat sisi siku-siku pada sebuah segitiga siku-siku sama dengan kuadrat sisi miringnya.

D.  Matematika Sebagai Ratu dan Pelayan Ilmu

Matematika sebagai ratu atau ibunya ilmu dimaksudkan bahwa matematika adalah sebagai sumber dari ilmu yang lain. Dengan kata lain banyak ilmu yang penemuannya dan pengembangannya bergantung pada matematika (Erman Suherman, 2003:25). Contohnya:

1.  Penemuan dan pengembangan teori Mendel dalam biologi melalui konsep probabilitas.

2.  Dengan matematika, Einstein membuat rumus yang dapat digunakan untuk menaksir jumlah energi yang dapat diperoleh dari ledakan atom.

3.  Dalam ilmu pendidikan dan psikologi, khususnya dalam teori belajar, selain digunakan statistik juga digunakan persamaan matematis untuk menyajikan teori atau model dari penelitian.

4.  Dalam ilmu kependudukan, matematika digunakan untuk memprediksi jumlah penduduk dll.

5.  Dalam seni grafis, konsep transformasi geometri digunakan untuk melukis mosaik.

6.  Banyak teori-teori dari fisika dan kimia (modern) yang ditemukan dan dikembangkan melalui konsep Kalkulus.

7.  Teori Ekonomi mengenai Permintaan dan Penawaran dikembangkan melalui konsep fungsi dan kalkulus diferensial maupun integral.

Dari kedudukan sebagai ratu ilmu pengetahuan tersirat bahwa matematika merupakan ilmu yang berfungsi melayani ilmu pengetahuan lain.

E.  Karekteristik Matematika

Hakikat matematika menurut Soedjadi dalam Purwanto (2004:264) menunjuk kepada segi-segi penting dan mendasar yang diantaranya menyangkut karakteristik matematika. Karakteristik tersebut mengacu pada ciri-ciri khusus yang dapat merangkum pengertian matematika secara umum, yaitu sebagai berikut:

     a. Memiliki objek kajian yang abstrak

     Matematika memiliki objek kajian yang bersifat abstrak. Ada empat objek kajian matematika, yaitu fakta, konsep, operasi dan relasi, prinsip. Selanjutnya dari objek dasar inilah dapat disusun suatu pola matematika.

          Fakta artinya pemufakatan atau konvensi yang biasanya diungkapkan melalui simbol-simbol atau rangkaian simbol tertentu. Misalnya simbol “^” yang berarti tegak lurus, simbol “// ” berarti sejajar, dan sebagainya. Cara memperkenalkan fakta kepada peserta didik adalah melalui tahapan-tahapan yang memungkinkan peserta didik dapat menyerap makna dari simbol-simbol tersebut. Penggunaan simbol seharusnya secara informal pada tahap awal pembelajaran, untuk membantu anak tetap pada pola dan hubungan yang dapat mereka pahami. Dalam hal ini perlu menerapkan pendekatan dari J. Bruner, yaitu enaktif-ikonik-simbolik.

          Konsep adalah ide abstrak yang dapat digunakan untuk menggolongkan atau mengkategorikan sekumpulan objek, apakah objek tertentu merupakan contoh atau bukan contoh. Misalnya “segitiga” merupakan nama suatu konsep, maka dengan konsep tersebut peserta didik dapat membedakan mana yang merupakan contoh segitiga dan mana yang bukan contoh segitiga. Konsep dapat dipelajari dengan memberikan definisi atau observasi langsung. Peserta didik telah memahami suatu konsep apabila ia dapat memisahkan yang mana contoh dan yang mana bukan contoh konsep.

          Operasi adalah pengerjaan hitung, pengerjaan aljabar dan pengerjaan matematika lainnya. Sementara relasi adalah hubungan antara dua atau lebih elemen. Contoh operasi adalah penjumlahan, perpangkatan, gabungan, irisan dan lain-lain. Sedangkan contoh relasi adalah sama dengan, lebih kecil, lebih besar dan sebagainya. Operasi sering kali disebut dengan skill (keterampilan), bila yang ditekankan adalah keterampilannya. Keterampilan ini dapat dipelajari melalui demontrasi, drill dan lain-lain. Peserta didik dianggap telah menguasai suatu keterampilan atau operasi apabila ia dapat mendemontrasikan keterampilannya atau mengoperasikan dengan benar.

          Prinsip adalah objek dalam matematika yang terdiri atas beberapa fakta, beberapa konsep yang dikaitkan oleh suatu relasi atau operasi. Dengan kata lain, prinsip adalah hubungan di antara berbagai objek dasar matematika. Yang termasuk dalam prinsip, misalnya aksioma, teorema, dalil, corollary, sifat dan sebagainya (Fathani, 2009:59-66).

     b.  Bertumpu pada kesepakatan

     Simbol-simbol dan istilah-istilah dalam matematika merupakan kesepakatan atau konvensi yang penting. Dengan simbol dan istilah yang telah disepakati, pembahasan selanjutnya akan menjadi mudah dikomunikasikan dan dilakukan. Sedangkan kesepakatan dalam matematika merupakan tumpuan yang amat penting. Kesepakatan yang sangat mendasar adalah aksioma (postulat, yaitu pernyataan pangkal yang tidak perlu pembuktian), dan konsep primitif (pengertian pangkal yang tidak perlu didefinisikan). Aksioma diperlukan dalam matematika untuk menghindarkan berputar-putar dalam pembuktian, sedangkan konsep primitif diperlukan untuk menghindarkan berputar-putar pada pendefinisian. Sebagai contoh; titik, garis, dan bidang merupakan unsur-unsur primitif atau pengertian pangkal dalam geometri Euclid. Sementara salah satu aksioma di dalamnya adalah “melalui dua buah titik ada tepat satu garis lurus yang dapat dibuat” (Fathani, 2009:66-68).

     c.  Berpola pikir deduktif

     Matematika dilukiskan sebagai suatu kumpulan sistem yang secara “ilmu” hanya dapat diterima melalui pola pikir deduktif. Pola pikir deduktif secara sederhana dapat dikatakan pemikiran yang berpangkal dari hal yang bersifat umum dan diterapkan atau diarahkan kepada hal yang bersifat khusus. Dalam pola pikir deduktif, kebenaran suatu konsep dalam matematika diperoleh sebagai akibat logis dari kebenaran-kebenaran sebelumnya yang telah diterima. Pola pikir deduktif ini dapat terwujud dalam bentuk yang amat sederhana, dan juga dapat terwujud dalam bentuk yang tidak sederhana (Fathani, 2009:68).

     d.  Konsisten dalam sistemnya

     Dalam matematika terdapat sistem yang terkait maupun yang terlepas satu sama lain, yang dibentuk dari beberapa aksioma dan beberapa teorema. Sistem aljabar dengan sistem geometri dapat dipandang terlepas satu dengan yang lainnya, tetapi dalam sistem aljabar dan sistem geometri sendiri terdapat beberapa sistem yang lebih kecil yang terkait satu sama lain, dan di dalamnya berlaku ketaat-azasan atau konsisten. Artinya, dalam setiap sistem tidak boleh terdapat unsur kontradiksi. Suatu teorema atau definisi harus menggunakan istilah atau konsep yang telah ditetapkan terlebih dahulu (Fathani, 2009:69).

     e.  Memiliki simbol yang kosong arti

     Di dalam matematika, banyak sekali simbol-simbol baik berupa huruf latin, huruf Yunani, maupun simbol-simbol khusus lainnya, yang membentuk kalimat dalam matematika dan biasa disebut dengan model matematika. Model matematika tersebut dapat berupa persamaan, pertidaksamaan, fungsi dan lain-lain. Selain iu, dapat pula berupa bangun-bangun geometri, grafik, diagram dan sebagainya. Sebagai contoh; simbol huruf x, y dan z dalam model matematika seperti pada persamaan x + y = z belum tentu bermakna sebagai bilangan, dan simbol “+” untuk dua bilangan masih kosong dalam arti (Fathani, 2009:70).

     f.   Memperhatikan semesta pembicaraan

     Apabila kita menggunakan simbol-simbol matematika yang bermakna kosong dalam arti, maka kita seharusnya memperhatikan pula lingkup pembicaraannya. Lingkup pembicaraan ini disebut dengan semesta pembicaraan (Universal Set) yang berfungsi untuk menentukan benar atau tidaknya, atau ada atau tidaknya penyelesaian suatu model matematika (Fathani, 2009:71).

DAFTAR PUSTAKA

Fathani, A.H.. 2009. Matematika Hakikat dan Logika. Jakarta: Ar-Ruzz Media.

Suherman, E.. 2003. Strategi Pembelajaran Matematika Kontemporer. Bandung: Universitas Pendidikan Indonesia.